円周上に等間隔に並んだ12個の点から異なる3点を選んで三角形を作る。このとき、作られた三角形が正三角形になる確率を求める。

1. 問題の内容

円周上に等間隔に並んだ12個の点から異なる3点を選んで三角形を作る。このとき、作られた三角形が正三角形になる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、12個の点から3点を選ぶすべての組み合わせの数を求める。これは組み合わせの問題であり、$_{12}C_3$で計算できる。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、正三角形となる組み合わせの数を求める。正三角形は、円周を3等分する3つの点を選ぶことで作られる。12個の点を3等分すると、各点は4つずつ間隔を空けて配置される。

具体的には、

(1, 5, 9), (2, 6, 10), (3, 7, 11), (4, 8, 12)

の4つの正三角形を作ることができる。

したがって、求める確率は、正三角形の組み合わせの数をすべての組み合わせの数で割ったものである。

$確率 = \frac{正三角形の組み合わせの数}{すべての組み合わせの数} = \frac{4}{220} = \frac{1}{55}$

3. 最終的な答え

1/55