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問題文は3つの部分に分かれています。 (1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $2\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ を小さい順に全て求める。

解析学三角関数三角不等式三角方程式
2025/4/21

1. 問題の内容

問題文は3つの部分に分かれています。
(1) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、不等式 sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} を満たす θ\theta の範囲を求める。
(2) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、不等式 2sin⁡2θ+5cos⁡θ<42\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4 を満たす θ\theta の範囲を求める。
(3) 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、方程式 cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0 を満たす θ\theta を小さい順に全て求める。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} の解を求める。sin⁡θ=22\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} となるのは θ=π4,3π4\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi で sin⁡θ≥22\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2} となるのは π4≤θ≤3π4\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}。
(2) 2sin⁡2θ+5cos⁡θ<42\sin^2 \theta + 5\cos \theta < 4 の解を求める。sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta を用いて cos⁡θ\cos \theta の式に書き換える。
2(1−cos⁡2θ)+5cos⁡θ<42(1 - \cos^2 \theta) + 5\cos \theta < 4
2−2cos⁡2θ+5cos⁡θ<42 - 2\cos^2 \theta + 5\cos \theta < 4
0<2cos⁡2θ−5cos⁡θ+20 < 2\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 2
2cos⁡2θ−5cos⁡θ+2>02\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 2 > 0
(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ−2)>0(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 2) > 0
cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2} または cos⁡θ>2\cos \theta > 2
cos⁡θ\cos \theta の値域は −1≤cos⁡θ≤1-1 \le \cos \theta \le 1 であるから、cos⁡θ>2\cos \theta > 2 は起こりえない。したがって、cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2} を満たす θ\theta を求める。
cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2} となるのは θ=π3,5π3\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}。0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi で cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2} となるのは π3<θ<5π3\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}。
(3) cos⁡2θ+cos⁡θ+1=0\cos 2\theta + \cos \theta + 1 = 0 の解を求める。cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 を用いて cos⁡θ\cos \theta の式に書き換える。
2cos⁡2θ−1+cos⁡θ+1=02\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta + 1 = 0
2cos⁡2θ+cos⁡θ=02\cos^2 \theta + \cos \theta = 0
cos⁡θ(2cos⁡θ+1)=0\cos \theta (2\cos \theta + 1) = 0
cos⁡θ=0\cos \theta = 0 または cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2}
cos⁡θ=0\cos \theta = 0 となるのは θ=π2,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}。
cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{2} となるのは θ=2π3,4π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}。
したがって、小さい順に並べると θ=π2,2π3,4π3,3π2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}。

3. 最終的な答え

(1) 14π≤θ≤34π\frac{1}{4} \pi \le \theta \le \frac{3}{4} \pi
(2) 13π<θ<53π\frac{1}{3} \pi < \theta < \frac{5}{3} \pi
(3) θ=12π,23π,43π,32π\theta = \frac{1}{2} \pi, \frac{2}{3} \pi, \frac{4}{3} \pi, \frac{3}{2} \pi

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