面積が毎秒 4 $cm^2$ の割合で増加している円があります。この円の半径が 8 cm になったときの、半径の増加速度を求める問題です。

1. 問題の内容

面積が毎秒 4 $cm^2$ の割合で増加している円があります。この円の半径が 8 cm になったときの、半径の増加速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円の面積 $S$ は、半径 $r$ を用いて $S = \pi r^2$ と表されます。

次に、この式を時間 $t$ で微分します。

$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2)$

$\frac{dS}{dt} = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt}$

$\frac{dS}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$

問題文より、$\frac{dS}{dt} = 4$ $cm^2/s$ であり、半径が $r = 8$ cm のときの $\frac{dr}{dt}$ を求めたいので、上の式にこれらの値を代入します。

$4 = 2 \pi (8) \frac{dr}{dt}$

$4 = 16 \pi \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi}$

3. 最終的な答え

半径の増加速度は $\frac{1}{4 \pi}$ cm/s です。