以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x=1$ を代入してみます。

分子は $1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ となり、

分母は $1^3 - 5(1)^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ となります。

したがって、不定形 $\frac{0}{0}$ となるので、分子と分母を因数分解して約分することを試みます。

分子を因数分解します。

$x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$

分母を因数分解します。$x=1$を代入すると0になるので、$x-1$を因数に持つことがわかります。

$x^3 - 5x^2 + 4$ を $x-1$ で割ると、$x^2 - 4x - 4$ となります。

つまり、$x^3 - 5x^2 + 4 = (x-1)(x^2 - 4x - 4)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x^2 - 4x - 4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x^2 - 4x - 4}$

ここで、$x=1$を代入すると、

$\frac{1+3}{1^2 - 4(1) - 4} = \frac{4}{1 - 4 - 4} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{7}$