問題は、次の2つの関数の第 $n$ 次導関数を求めることです。 (1) $y = x^n$ (2) $y = e^{2x}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数の第 $n$ 次導関数を求めることです。

(1) $y = x^n$

(2) $y = e^{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^n$ の場合：

まず、いくつか微分を計算してみます。

$y' = nx^{n-1}$

$y'' = n(n-1)x^{n-2}$

$y''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

...

$y^{(n)} = n(n-1)(n-2)\dots(n-(n-1))x^{n-n} = n(n-1)(n-2)\dots1 = n!$

(2) $y = e^{2x}$ の場合：

同様に、いくつか微分を計算してみます。

$y' = 2e^{2x}$

$y'' = 2(2e^{2x}) = 2^2e^{2x}$

$y''' = 2(2^2e^{2x}) = 2^3e^{2x}$

...

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^n$ のとき、$y^{(n)} = n!$

(2) $y = e^{2x}$ のとき、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$