問題15：複素数平面において、点 $z$ が2点 $0$, $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、$w = \frac{2z-1}{iz+1}$ を満たす点 $w$ の描く図形を求めよ。 問題16：複素数 $z$ が方程式 $z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 4 = 0$ を満たしながら動くとき、$|z-2|$ の最大値と最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

問題15：複素数平面において、点 $z$ が2点 $0$, $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、$w = \frac{2z-1}{iz+1}$ を満たす点 $w$ の描く図形を求めよ。

問題16：複素数 $z$ が方程式 $z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 4 = 0$ を満たしながら動くとき、$|z-2|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題15：

まず、点 $z$ が2点 $0$ と $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上にあるという条件を式で表します。垂直二等分線上の点は、2点からの距離が等しいので、$|z - 0| = |z - i|$、つまり $|z| = |z - i|$ となります。

$z = x + yi$ (ただし $x, y$ は実数) とおくと、$|x + yi| = |x + (y-1)i|$ より、$x^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$ となります。

これを整理すると、$y^2 = y^2 - 2y + 1$ となり、$2y = 1$、つまり $y = \frac{1}{2}$ を得ます。これは $z$ が実軸に平行な直線 $Im(z) = \frac{1}{2}$ 上にあることを意味します。

次に、$w = \frac{2z-1}{iz+1}$ を $z$ について解きます。

$w(iz+1) = 2z - 1$

$wiz + w = 2z - 1$

$wiz - 2z = -1 - w$

$z(wi - 2) = -1 - w$

$z = \frac{-1 - w}{wi - 2} = \frac{w + 1}{2 - wi}$

$Im(z) = \frac{1}{2}$ を代入して、

$Im(\frac{w+1}{2-wi}) = \frac{1}{2}$

$w = u + vi$ とおくと、$z = \frac{u+1+vi}{2-i(u+vi)} = \frac{u+1+vi}{2-ui+v} = \frac{u+1+vi}{2+v-ui}$

$z = \frac{(u+1+vi)(2+v+ui)}{(2+v-ui)(2+v+ui)} = \frac{(u+1)(2+v) - vu + i((u+1)u + v(2+v))}{(2+v)^2 + u^2}$

$Im(z) = \frac{(u+1)u + v(2+v)}{(2+v)^2 + u^2} = \frac{u^2+u+2v+v^2}{(2+v)^2 + u^2} = \frac{1}{2}$

$2u^2 + 2u + 4v + 2v^2 = u^2 + (v+2)^2 = u^2 + v^2 + 4v + 4$

$u^2 + 2u + 2v^2 + 4v - 4 = 0$

$u^2+u+v^2+2v-2 = 0$

$(u+1)^2 + v^2 = 5$

問題16：

与えられた方程式は $z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 4 = 0$ です。

これは、$z\bar{z} + (1+2i)z + \overline{(1+2i)z} + 4 = 0$ と書き換えられます。

$(z + 1 - 2i)(\bar{z} + 1 + 2i) = z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + (1-2i)(1+2i) = z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 1 + 4 = z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 5$

したがって、$z\bar{z} + (1+2i)z + (1-2i)\bar{z} + 4 = 0$ は $|z + 1 - 2i|^2 = 1$ と同値です。

これは中心が $-1 + 2i$, 半径が $1$ の円を表します。

$|z-2|$ の最大値と最小値を求めます。

$|z-2|$ は、円上の点 $z$ と点 $2$ との距離です。

円の中心 $-1 + 2i$ と点 $2$ との距離は $|-1 + 2i - 2| = |-3 + 2i| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

最大値は $\sqrt{13} + 1$、最小値は $\sqrt{13} - 1$

3. 最終的な答え

問題15：点 $w$ の描く図形は、中心 $(-1, 0)$、半径 $\sqrt{5}$ の円である。

問題16：$|z-2|$ の最大値は $\sqrt{13} + 1$、最小値は $\sqrt{13} - 1$ である。