与えられた6つの関数を微分する問題です。 (1) $y = e^{2x}$ (2) $y = e^{-x^2}$ (3) $y = 3^x$ (4) $y = 2^{-3x}$ (5) $y = xe^x$ (6) $y = (2x-1)^a$ （ただし、$a$は1でない正の定数）

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。

(1) $y = e^{2x}$

(2) $y = e^{-x^2}$

(3) $y = 3^x$

(4) $y = 2^{-3x}$

(5) $y = xe^x$

(6) $y = (2x-1)^a$ （ただし、$a$は1でない正の定数）

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{2x}$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = 2x$とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$

(2) $y = e^{-x^2}$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = -x^2$とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

(3) $y = 3^x$ の微分

$y = a^x$ の微分公式$\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$を使う。

$\frac{dy}{dx} = 3^x \ln 3$

(4) $y = 2^{-3x}$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = -3x$とすると、$y = 2^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2^u \ln 2 \cdot (-3) = -3 \ln 2 \cdot 2^{-3x}$

(5) $y = xe^x$ の微分

積の微分法を用いる。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x)e^x + x\frac{d}{dx}(e^x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(6) $y = (2x-1)^a$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = 2x-1$とすると、$y = u^a$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = a u^{a-1} \cdot 2 = 2a (2x-1)^{a-1}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2e^{2x}$

(2) $y' = -2xe^{-x^2}$

(3) $y' = 3^x \ln 3$

(4) $y' = -3 \ln 2 \cdot 2^{-3x}$

(5) $y' = (x+1)e^x$

(6) $y' = 2a(2x-1)^{a-1}$