対数微分法を利用して、以下の関数を微分せよ。 (1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

1. 問題の内容

対数微分法を利用して、以下の関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$

まず、両辺の絶対値の自然対数を取る。

$\log |y| = \log \left| \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2} \right|$

対数の性質を用いて式を整理する。

$\log |y| = \log |(x+1)^3| - \log |(x-1)| - \log |(x+2)^2|$

$\log |y| = 3 \log |x+1| - \log |x-1| - 2 \log |x+2|$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2}$

$\frac{y'}{y} = \frac{3(x-1)(x+2) - (x+1)(x+2) - 2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{3(x^2+x-2) - (x^2+3x+2) - 2(x^2-1)}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{3x^2+3x-6 - x^2-3x-2 - 2x^2+2}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{-6}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$y' = y \cdot \frac{-6}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$y' = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2} \cdot \frac{-6}{(x+1)(x-1)(x+2)}$

$y' = \frac{-6(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

まず、両辺の絶対値の自然対数を取る。

$\log |y| = \log \left| \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} \right|$

対数の性質を用いて式を整理する。

$\log |y| = \log |\sqrt{x+2}| - \log |x+1|$

$\log |y| = \log |(x+2)^{\frac{1}{2}}| - \log |x+1|$

$\log |y| = \frac{1}{2} \log |x+2| - \log |x+1|$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{y'}{y} = \frac{(x+1) - 2(x+2)}{2(x+1)(x+2)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{x+1 - 2x - 4}{2(x+1)(x+2)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{-x-3}{2(x+1)(x+2)}$

$y' = y \cdot \frac{-x-3}{2(x+1)(x+2)}$

$y' = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} \cdot \frac{-(x+3)}{2(x+1)(x+2)}$

$y' = \frac{-(x+3)}{2(x+1)^2 \sqrt{x+2}}$

$y' = -\frac{x+3}{2(x+1)^2 \sqrt{x+2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-6(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) $y' = -\frac{x+3}{2(x+1)^2 \sqrt{x+2}}$