与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x}$ の値を求めよ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。 与えられた式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 7x}{x}}{\frac{\sin 4x}{x}}$

さらに、分子と分母をそれぞれ7と4で割って、以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 7x}{7x} \cdot 7}{\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4} = \frac{7}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 7x}{7x}}{\frac{\sin 4x}{4x}}$

$x \to 0$ のとき $7x \to 0$ および $4x \to 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$ となります。よって、

$\frac{7}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 7x}{7x}}{\frac{\sin 4x}{4x}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{4}$