$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3} - 8}{x-1}$ が有限な値になるように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+3} - 8}{x-1}$ が有限な値になるように定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくため、極限が有限な値を持つためには、分子も $0$ に近づく必要があります。したがって、

$$a\sqrt{1+3} - 8 = 0$$

$$a\sqrt{4} - 8 = 0$$

$$2a - 8 = 0$$

$$a = 4$$

次に、$a = 4$ のとき、極限を計算します。

$$\lim_{x \to 1} \frac{4\sqrt{x+3} - 8}{x-1}$$

この式は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使うか、有理化を行います。ここでは有理化を行います。

$$\lim_{x \to 1} \frac{4\sqrt{x+3} - 8}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(4\sqrt{x+3} - 8)(4\sqrt{x+3} + 8)}{(x-1)(4\sqrt{x+3} + 8)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{16(x+3) - 64}{(x-1)(4\sqrt{x+3} + 8)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{16x + 48 - 64}{(x-1)(4\sqrt{x+3} + 8)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{16x - 16}{(x-1)(4\sqrt{x+3} + 8)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{16(x - 1)}{(x-1)(4\sqrt{x+3} + 8)}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{16}{4\sqrt{x+3} + 8}$$

$x \to 1$ を代入すると

$$= \frac{16}{4\sqrt{1+3} + 8} = \frac{16}{4\sqrt{4} + 8} = \frac{16}{4(2) + 8} = \frac{16}{8 + 8} = \frac{16}{16} = 1$$

3. 最終的な答え

$a = 4$ のとき、極限値は $1$ です。

答え: $a = 4$, 極限値 = $1$