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$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$ を計算します。

解析学極限三角関数微積分
2025/4/21

1. 問題の内容

lim⁡x→0sin⁡5x3x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} を計算します。

2. 解き方の手順

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用します。
まず、sin⁡5x3x\frac{\sin 5x}{3x} の分母分子に 55\frac{5}{5} をかけて変形します。
sin⁡5x3x=sin⁡5x3x⋅55=sin⁡5x5x⋅53\frac{\sin 5x}{3x} = \frac{\sin 5x}{3x} \cdot \frac{5}{5} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3}
x→0x \to 0 のとき、5x→05x \to 0 なので、lim⁡x→0sin⁡5x5x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1 となります。
したがって、
lim⁡x→0sin⁡5x3x=lim⁡x→0sin⁡5x5x⋅53=53lim⁡x→0sin⁡5x5x=53⋅1=53\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}

3. 最終的な答え

53\frac{5}{3}

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