与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x} - 2x}{x + 2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x} - 2x}{x + 2}$$

2. 解き方の手順

まず、分子の$\sqrt{4x^2+x} - 2x$を有利化します。

$$\sqrt{4x^2+x} - 2x = \frac{(\sqrt{4x^2+x} - 2x)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{(4x^2+x) - (2x)^2}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{4x^2+x} + 2x}$$

したがって、極限は以下のようになります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$$

次に、分母と分子を$x$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{2}{x})(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$$

ここで、$\sqrt{4x^2+x} = \sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} = x\sqrt{4+\frac{1}{x}}$と変形できることを利用して、さらに分母と分子を$x$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x}+2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x(x+2)(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)}$$

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{(1+\frac{2}{x})(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)}$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+x} - 2x}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x(x+2) (\sqrt{4+1/x}+2x)}$$

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x+2) (\sqrt{4+1/x}+2)}$$

$$= \frac{0}{(1+0)(\sqrt{4+0}+2)} = \frac{1}{x(1+2/x)(\sqrt{4+1/x}+2)}$$

別の解法：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+x} - 2x}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{\sqrt{4x^2+x} + 2x}}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x(1+\frac{2}{x})x(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2(1+\frac{2}{x})(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x(1+\frac{2}{x})(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)} = \frac{1}{\infty (1+0)(\sqrt{4+0} + 2)} = \frac{1}{\infty} = 0$$

3. 最終的な答え

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