次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+x} - 2x}{x+2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+x} - 2x}{x+2}$

2. 解き方の手順

まず、分子を有理化します。分子と分母に $\sqrt{4x^2+x} + 2x$ を掛けます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+x} - 2x}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2+x} - 2x)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+x) - (2x)^2}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+x - 4x^2}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}$

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{4x^2+x}$ は $2x$ に近い値をとるため、$\sqrt{4x^2+x} + 2x$ は $4x$ に近い値をとります。したがって、分母は $(x+2)(4x)$ に近い値になります。

そこで、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x/x^2}{(x+2)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)/x^2}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{(1+2/x)(\sqrt{4x^2+x}/x + 2x/x)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{(1+2/x)(\sqrt{4+1/x} + 2)}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となることを利用します。

$= \frac{0}{(1+0)(\sqrt{4+0} + 2)}$

$= \frac{0}{1(\sqrt{4}+2)}$

$= \frac{0}{1(2+2)}$

$= \frac{0}{4}$

$= 0$

3. 最終的な答え

0