面積を $S$、時刻を $t$、半径を $r$ とする。毎秒 $4 \text{ cm}^2$ の割合で面積が増加している円がある。 $\frac{dS}{dt} = 4$ である。 これを $\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ で表すことができるか。

1. 問題の内容

面積を $S$、時刻を $t$、半径を $r$ とする。毎秒 $4 \text{ cm}^2$ の割合で面積が増加している円がある。

$\frac{dS}{dt} = 4$ である。

これを $\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ で表すことができるか。

2. 解き方の手順

円の面積 $S$ は、半径 $r$ を用いて $S = \pi r^2$ と表される。

この式を $r$ で微分すると、$\frac{dS}{dr} = 2\pi r$ となる。

$\frac{dS}{dt} = 4$ は与えられている。

$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ に代入すると、$4 = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}$ となる。

$\frac{dr}{dt}$ について解くと、$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{2\pi r} = \frac{2}{\pi r}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$ を用いて表すことができます。

$\frac{dS}{dr} = 2\pi r$

$\frac{dr}{dt} = \frac{2}{\pi r}$