$\sin\alpha = \frac{5}{6}$, $\cos\beta = -\frac{4}{5}$ (ただし、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$) のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin\alpha = \frac{5}{6}$, $\cos\beta = -\frac{4}{5}$ (ただし、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$) のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値を求める。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos\alpha > 0$ である。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

よって、$\cos\alpha = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

次に、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\sin\beta > 0$ である。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\sin\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\cos(\alpha + \beta)$ の加法定理は、

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

である。

したがって、

$\cos(\alpha + \beta) = (\frac{\sqrt{11}}{6})(-\frac{4}{5}) - (\frac{5}{6})(\frac{3}{5}) = -\frac{4\sqrt{11}}{30} - \frac{15}{30} = -\frac{4\sqrt{11} + 15}{30}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{4\sqrt{11} + 15}{30}$