関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} 2x+2 & (x<0) \\ x^2 - 2x + 2 & (x \geq 0) \end{cases} $ $y=f(x)$ のグラフを $C$ とします。$0 < t < 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$C$ 上の点 $P(t, f(t))$ における $C$ の接線を $l$ とします。接線 $l$ の傾きと方程式を求め、関数 $g(x)$ を定義します。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 2x+2 & (x<0) \\ x^2 - 2x + 2 & (x \geq 0) \end{cases}$

$y=f(x)$ のグラフを $C$ とします。$0 < t < 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$C$ 上の点 $P(t, f(t))$ における $C$ の接線を $l$ とします。接線 $l$ の傾きと方程式を求め、関数 $g(x)$ を定義します。

2. 解き方の手順

まず、$t > 0$ なので、$f(t) = t^2 - 2t + 2$ となります。

$f'(x)$ を求めます。$x > 0$ のとき、$f'(x) = 2x - 2$ となります。

したがって、点 $P(t, f(t))$ における接線 $l$ の傾きは、$f'(t) = 2t - 2$ です。

接線 $l$ の方程式は、$y - f(t) = f'(t)(x-t)$ と表されます。

$y - (t^2 - 2t + 2) = (2t-2)(x-t)$

$y = (2t-2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 2$

$y = (2t-2)x - t^2 + 2$

$g(x) = (2t-2)x - t^2 + 2$

3. 最終的な答え

$l$ の傾きは $2t - 2$ です。

$l$ の方程式は $y = (2t-2)x - t^2 + 2$ です。

$g(x) = (2t-2)x - t^2 + 2$ です。