関数 $y = x^2$ ($x \leq 0$) の逆関数を $g(x)$ とするとき、逆関数の微分の公式を用いて $g'(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ ($x \leq 0$) の逆関数を $g(x)$ とするとき、逆関数の微分の公式を用いて $g'(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = f(x)$ の逆関数を $x = g(y)$ とすると、逆関数の微分の公式は次のようになります。

$$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$

ただし、$y = f(x)$ であり、$f'(x) \neq 0$ である必要があります。

与えられた関数は $y = x^2$ ($x \leq 0$) です。まず、$x$ について解きます。

$x \leq 0$ であることから、$x = -\sqrt{y}$ となります。したがって、$g(y) = -\sqrt{y}$ です。

次に、$f'(x)$ を計算します。$f(x) = x^2$ なので、$f'(x) = 2x$ です。

逆関数の微分の公式を用いて $g'(y)$ を計算します。

$$g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{2x}$$

ここで、$x = -\sqrt{y}$ であるので、

$$g'(y) = \frac{1}{2(-\sqrt{y})} = -\frac{1}{2\sqrt{y}}$$

変数を $x$ に書き換えると、

$$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

3. 最終的な答え

$$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$$