Y大学で$4n$人の学生が数学を受験し、$3n$人の学生が$a$点を、残りの学生が$b$点を取った。得点の分散を求めなさい。ただし、解答の形式は$\frac{4}{5 \mid 6} (b-a)^{\boxed{7}}$とする。

1. 問題の内容

Y大学で$4n$人の学生が数学を受験し、$3n$人の学生が$a$点を、残りの学生が$b$点を取った。得点の分散を求めなさい。ただし、解答の形式は$\frac{4}{5 \mid 6} (b-a)^{\boxed{7}}$とする。

2. 解き方の手順

まず、平均値を計算します。

$4n$人の学生の合計点は $3n \cdot a + n \cdot b = 3na + nb$ です。

したがって、平均値$\bar{x}$は

$$\bar{x} = \frac{3na + nb}{4n} = \frac{3a+b}{4}$$

次に、分散を計算します。分散の公式は、

$$V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2$$

ここで、$N = 4n$、$x_i$は各学生の点数です。

$V = \frac{1}{4n} [3n(a - \frac{3a+b}{4})^2 + n(b - \frac{3a+b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(a - \frac{3a+b}{4})^2 + (b - \frac{3a+b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(\frac{4a-3a-b}{4})^2 + (\frac{4b-3a-b}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(\frac{a-b}{4})^2 + (\frac{3b-3a}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3(\frac{(a-b)^2}{16}) + (\frac{3(b-a)}{4})^2]$

$V = \frac{1}{4} [3\frac{(b-a)^2}{16} + 9\frac{(b-a)^2}{16}]$

$V = \frac{1}{4} [\frac{12(b-a)^2}{16}]$

$V = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}(b-a)^2$

$V = \frac{3}{16}(b-a)^2$

問題文の形式に合わせると、$\frac{3}{16} = \frac{4}{x}$ となるので、$x = \frac{4 \cdot 16}{3} = \frac{64}{3} = 21.333\dots$ となる。

解答の形式は$\frac{4}{5 \mid 6} (b-a)^{\boxed{7}}$なので、

$\frac{3}{16}(b-a)^2 = \frac{4}{x}(b-a)^2$

与えられた分数$\frac{4}{5\mid 6}$に近い分数を見つける必要がある。

$V = \frac{3}{16}(b-a)^2$. ここで$\frac{3}{16} = \frac{4}{64/3}$なので、与えられた$\frac{4}{5 \mid 6}$から、 $\frac{4}{5,6,7}$などの数字を探すことになる。

$\frac{3}{16}(b-a)^2$は，問題文の形式では$\frac{4}{5 \mid 6}(b-a)^{\boxed{7}}$に合う必要があるので，$\frac{3}{16} = \frac{4/3}{16/3}$となり、$b-a$の指数は2。

$\frac{3}{16} = \frac{4}{16 \cdot 4/3} = \frac{4}{64/3}$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}(b-a)^2$

$\frac{4}{5|6}$の形式にする必要があるので、問題に誤りがある可能性があります。

解答の形式に合わせると、$4/(64/3) \approx 4/21.333...$となり、これは問題の$\frac{4}{5|6}$ではない。

問題の穴埋め箇所は指数なので、$\frac{3}{16}(b-a)^2$から、2が指数となる。

最終的な答え:

$\frac{4}{64/3}(b-a)^{\boxed{2}}$

したがって、形式に合わせると、7には2が入ると考えられる。