生徒9人に対する英語と数学のテスト結果の表が与えられている。 (1) 生徒5の英語の得点A、および9人の英語の得点の分散Bを求める。また、英語と数学の得点の相関係数を求める。 (2) 9人の英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

生徒9人に対する英語と数学のテスト結果の表が与えられている。

(1) 生徒5の英語の得点A、および9人の英語の得点の分散Bを求める。また、英語と数学の得点の相関係数を求める。

(2) 9人の英語と数学の得点の散布図として適切なものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、9人の数学の平均点が15点なので、以下の式が成り立つ。

$\frac{15+20+14+17+8+18+14+14+15}{9} = 15$

$135 = 135$

また、9人の英語の平均点が16点なので、以下の式が成り立つ。

$\frac{9+20+18+18+A+18+14+15+18}{9} = 16$

$130 + A = 144$

$A = 14$

したがって、生徒5の英語の得点Aは14点。

次に、9人の英語の得点の分散Bを求める。分散は、各データの値から平均値を引いた二乗の合計をデータの個数で割ったものである。

$B = \frac{(9-16)^2 + (20-16)^2 + (18-16)^2 + (18-16)^2 + (14-16)^2 + (18-16)^2 + (14-16)^2 + (15-16)^2 + (18-16)^2}{9}$

$B = \frac{49 + 16 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1 + 4}{9}$

$B = \frac{90}{9} = 10$

したがって、9人の英語の得点の分散Bは10。

次に、英語と数学の相関係数rを求める。相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったものである。

まず、共分散を求める。

$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n}$

$Cov(X, Y) = \frac{(9-16)(15-15) + (20-16)(20-15) + (18-16)(14-15) + (18-16)(17-15) + (14-16)(8-15) + (18-16)(18-15) + (14-16)(14-15) + (15-16)(14-15) + (18-16)(15-15)}{9}$

$Cov(X, Y) = \frac{0 + 20 + (-2) + 4 + 14 + 6 + 2 + 1 + 0}{9}$

$Cov(X, Y) = \frac{45}{9} = 5$

次に、英語と数学の標準偏差を求める。

$\sigma_X = \sqrt{B} = \sqrt{10} \approx 3.16$

$\sigma_Y = \sqrt{10} \approx 3.16$

相関係数 $r = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{5}{10} = 0.5$

(2)

与えられたデータから散布図を作成する。

(9, 15), (20, 20), (18, 14), (18, 17), (14, 8), (18, 18), (14, 14), (15, 14), (18, 15)

これらの点をプロットしたグラフとして、選択肢③が最も適切である。

3. 最終的な答え

(1)

生徒5の英語の得点Aは14点。

9人の英語の得点の分散Bの値は10。

英語と数学の得点の相関係数の値は0.5。

(2)

9人の英語と数学の得点の散布図として適切なものは、③である。