$a, k$ は実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - (k+7)x + ak + 12 = 0$ がすべての実数 $k$ に対して実数解を持つような、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a, k$ は実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - (k+7)x + ak + 12 = 0$ がすべての実数 $k$ に対して実数解を持つような、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (k+7)^2 - 4(ak+12)$

$D = k^2 + 14k + 49 - 4ak - 48$

$D = k^2 + (14 - 4a)k + 1$

これがすべての実数 $k$ に対して実数解を持つ条件は $D \ge 0$ であるから、

$k^2 + (14 - 4a)k + 1 \ge 0$

これがすべての実数 $k$ について成り立つためには、$k$ についての2次方程式 $k^2 + (14 - 4a)k + 1 = 0$ の判別式 $D'$ が $D' \le 0$ であればよい。

$D' = (14 - 4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (14 - 4a)^2 - 4$

$D' = 196 - 112a + 16a^2 - 4 = 16a^2 - 112a + 192$

$D' \le 0$ より、

$16a^2 - 112a + 192 \le 0$

$a^2 - 7a + 12 \le 0$

$(a-3)(a-4) \le 0$

よって、$3 \le a \le 4$

3. 最終的な答え

$3 \le a \le 4$