2組の連立方程式が与えられており、それぞれ同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。 (3) の問題 $$\begin{cases} -x+2y=8 \\ ax-by=-9 \end{cases}$$ と $$\begin{cases} -2x+y=7 \\ -bx+ay=11 \end{cases}$$ (4) の問題 $$\begin{cases} 3x+y=7 \\ ax+5y=2 \end{cases}$$ と $$\begin{cases} 2x+by=4 \\ x-y=5 \end{cases}$$

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

2組の連立方程式が与えられており、それぞれ同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

(3) の問題

$$$$

\begin{cases}

-x+2y=8 \\

ax-by=-9

\end{cases}

$$$$

と

$$$$

\begin{cases}

-2x+y=7 \\

-bx+ay=11

\end{cases}

$$$$

(4) の問題

$$$$

\begin{cases}

3x+y=7 \\

ax+5y=2

\end{cases}

$$$$

と

$$$$

\begin{cases}

2x+by=4 \\

x-y=5

\end{cases}

$$$$

2. 解き方の手順

(3) の問題

まず、共通の解を持つ連立方程式の解を求めます。

$$$$

\begin{cases}

-x+2y=8 \\

-2x+y=7

\end{cases}

$$$$

1番目の式を2倍すると、$-2x+4y=16$となります。

この式から2番目の式を引くと、

$(-2x+4y) - (-2x+y) = 16-7$

$3y=9$

$y=3$

$y=3$を$-x+2y=8$に代入すると、$-x+2(3)=8$より、$-x+6=8$なので、$x=-2$

よって、共通の解は$x=-2, y=3$

次に、この解を他の連立方程式に代入します。

$$$$

\begin{cases}

a(-2) - b(3) = -9 \\

-b(-2) + a(3) = 11

\end{cases}

$$$$

$$$$

\begin{cases}

-2a-3b=-9 \\

2b+3a=11

\end{cases}

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\begin{cases}

2a+3b=9 \\

3a+2b=11

\end{cases}

$$$$

1番目の式を3倍、2番目の式を2倍すると、

$$$$

\begin{cases}

6a+9b=27 \\

6a+4b=22

\end{cases}

$$$$

1番目の式から2番目の式を引くと、

$5b=5$

$b=1$

$b=1$を$2a+3b=9$に代入すると、$2a+3(1)=9$より、$2a=6$なので、$a=3$

よって、$a=3, b=1$

(4) の問題

まず、共通の解を持つ連立方程式の解を求めます。

$$$$

\begin{cases}

x-y=5 \\

3x+y=7

\end{cases}

$$$$

2つの式を足すと、

$(x-y)+(3x+y) = 5+7$

$4x=12$

$x=3$

$x=3$を$x-y=5$に代入すると、$3-y=5$より、$y=-2$

よって、共通の解は$x=3, y=-2$

次に、この解を他の連立方程式に代入します。

$$$$

\begin{cases}

a(3) + 5(-2) = 2 \\

2(3) + b(-2) = 4

\end{cases}

$$$$

$$$$

\begin{cases}

3a - 10 = 2 \\

6 - 2b = 4

\end{cases}

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\begin{cases}

3a=12 \\

-2b=-2

\end{cases}

$$$$

$$$$

\begin{cases}

a=4 \\

b=1

\end{cases}

$$$$

よって、$a=4, b=1$

3. 最終的な答え

(3) $a=3, b=1$

(4) $a=4, b=1$