定数 $a$ を含む連立不等式 $ \begin{cases} x - 6a \geq -1 & \cdots ① \\ |x + a - 1| < 5 & \cdots ② \end{cases} $ について、以下の問いに答える。 (1) $x = 1$ が不等式①を満たすような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $x = 2$ が不等式①を満たさないような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $a = 0$ のとき、連立不等式①, ② の解を求める。 (4) 不等式②の解と、連立不等式①, ② の解とが一致するような $a$ の値の範囲を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む連立不等式

$$

\begin{cases}

x - 6a \geq -1 & \cdots ① \\

|x + a - 1| < 5 & \cdots ②

\end{cases}

$$

について、以下の問いに答える。

(1) $x = 1$ が不等式①を満たすような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $x = 2$ が不等式①を満たさないような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $a = 0$ のとき、連立不等式①, ② の解を求める。

(4) 不等式②の解と、連立不等式①, ② の解とが一致するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1$ を不等式①に代入する。

$$

1 - 6a \geq -1

$$

この不等式を $a$ について解く。

$$

-6a \geq -2 \\

a \leq \frac{1}{3}

$$

(2) $x = 2$ を不等式①に代入する。

$$

2 - 6a \geq -1

$$

$x=2$が不等式①を満たさない条件は、$2 - 6a < -1$である。

$$

-6a < -3 \\

a > \frac{1}{2}

$$

(3) $a = 0$ のとき、不等式①は $x \geq -1$ となる。

不等式②は

$$

|x - 1| < 5 \\

-5 < x - 1 < 5 \\

-4 < x < 6

$$

連立不等式①, ② の解は $-1 \leq x < 6$ となる。

(4) 不等式②の解は

$$

|x + a - 1| < 5 \\

-5 < x + a - 1 < 5 \\

-5 - a + 1 < x < 5 - a + 1 \\

-4 - a < x < 6 - a

$$

不等式②の解が、連立不等式①, ②の解と一致するためには、$x \geq -1$ より

$$

-4 - a = -1 \\

a = -3

$$

このとき、不等式②の解は

$$

-4 - (-3) < x < 6 - (-3) \\

-1 < x < 9

$$

不等式①は

$$

x - 6(-3) \geq -1 \\

x + 18 \geq -1 \\

x \geq -19

$$

連立不等式の解は $-1 \leq x < 9$ となり、不等式②の解と一致しない。

連立不等式の解は$x \geq -1$より、$-1 \leq x < 6-a$を満たす。

不等式②の解$-4-a < x < 6-a$が、連立不等式の解$x \geq -1$と一致する条件は、 $-4-a = -1$ のとき、$a = -3$で連立不等式の解は $-1 \leq x < 9$となり、不等式①の解は $x \geq -19$であるため、 $-1 \leq x < 9$

この範囲は、不等式②の解と一致しない。

そこで、不等式②の解が不等式①を満たす場合を考える。

$-4-a \geq -1$の場合、$a \leq -3$

このとき、不等式①は、$x \geq 6a - 1$

連立不等式の解は、$6a - 1 \leq x < 6-a$

$-4-a<x<6-a$と一致するためには、$6a - 1 = -4 - a$が成り立つ必要があり、この時$7a = -3$となり、$a = -\frac{3}{7}$となる。しかし、$a \leq -3$ではないので条件を満たさない。

不等式②の解は常に不等式①を満たす必要があり、$6a -1 \leq -4 - a$となるとき、$a \leq -\frac{3}{7}$

この時、連立不等式の解は$-1\leq x<6-a$である必要がある。

連立不等式①、②の解が不等式②の解と一致するための条件は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $a \leq \frac{1}{3}$

(2) $a > \frac{1}{2}$

(3) $-1 \leq x < 6$

(4) 存在しない