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与えられた式 $x^4 - 81$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式二次方程式式の展開
2025/4/22

1. 問題の内容

与えられた式 x4−81x^4 - 81 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、x4−81x^4 - 81 を (x2)2−92(x^2)^2 - 9^2 と見ます。これは、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) の公式を利用できる形です。
したがって、
x4−81=(x2)2−92=(x2+9)(x2−9)x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 + 9)(x^2 - 9)
となります。
次に、x2−9x^2 - 9 はさらに (x2−32)(x^2 - 3^2) と見ることができ、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) の公式を利用して因数分解できます。
x2−9=x2−32=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)
したがって、
x4−81=(x2+9)(x2−9)=(x2+9)(x+3)(x−3)x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)
となります。
x2+9x^2 + 9 は実数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

(x2+9)(x+3)(x−3)(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)

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