画像に書かれた部分分数分解の問題を解きます。具体的には、次の式を満たす定数 $a$ と $b$ を求めます。 $\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

1. 問題の内容

画像に書かれた部分分数分解の問題を解きます。具体的には、次の式を満たす定数 $a$ と $b$ を求めます。

$\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

したがって、

$\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

分母が等しいので、分子も等しくなります。

$x+8 = a(x-2) + b(x-1)$

この式が任意の $x$ について成り立つ必要があります。

$x=1$ を代入すると、

$1+8 = a(1-2) + b(1-1)$

$9 = -a$

$a = -9$

$x=2$ を代入すると、

$2+8 = a(2-2) + b(2-1)$

$10 = b$

$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = -9$

$b = 10$

したがって、部分分数分解の結果は次のようになります。

$\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{-9}{x-1} + \frac{10}{x-2}$