与えられた式を解き、$x$についての方程式を解く問題です。式は以下の通りです。 $\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

1. 問題の内容

与えられた式を解き、$x$についての方程式を解く問題です。式は以下の通りです。

$\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

次に、両辺の分母が等しいので、分子も等しくなります。

$x+8 = a(x-2) + b(x-1)$

この式が任意の$x$に対して成り立つように、$a$と$b$の値を決定します。

$x=1$を代入すると

$1+8 = a(1-2) + b(1-1)$

$9 = -a$

$a = -9$

$x=2$を代入すると

$2+8 = a(2-2) + b(2-1)$

$10 = b$

$b = 10$

したがって、$a=-9$、$b=10$です。

元の式に代入すると以下のようになります。

$\frac{x+8}{(x-1)(x-2)} = \frac{-9}{x-1} + \frac{10}{x-2}$

3. 最終的な答え

$a=-9$, $b=10$