問題は、二項係数に関する次の等式を証明することです。 $\sum_{k=0}^{n} 2^k {}_nC_k = {}_nC_0 + 2 {}_nC_1 + 2^2 {}_nC_2 + 2^3 {}_nC_3 + \cdots + 2^n {}_nC_n = 3^n$

1. 問題の内容

問題は、二項係数に関する次の等式を証明することです。

$\sum_{k=0}^{n} 2^k {}_nC_k = {}_nC_0 + 2 {}_nC_1 + 2^2 {}_nC_2 + 2^3 {}_nC_3 + \cdots + 2^n {}_nC_n = 3^n$

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は次の式で表されます。

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^{n-k} y^k$

この式において、$x = 1$、$y = 2$ とすると、

$(1 + 2)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k (1)^{n-k} (2)^k$

$(1 + 2)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 2^k$

$3^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 2^k$

これは、与えられた等式の左辺と一致します。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=0}^{n} 2^k {}_nC_k = 3^n$