$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の項の係数を求めます。ただし、$p+q+r = n$ が成り立ちます。

## 問題6

1. 問題の内容

$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の項の係数を求めます。ただし、$p+q+r = n$ が成り立ちます。

2. 解き方の手順

多項定理によれば、$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の項の係数は、多項係数で与えられます。多項係数は以下の式で表されます。

$\frac{n!}{p!q!r!}$

ここで、n は展開式の次数、$p, q, r$ はそれぞれ a, b, c の指数であり、$p+q+r = n$ を満たします。

3. 最終的な答え

$\frac{n!}{p!q!r!}$

## 問題7

1. 問題の内容

$(a+b+c)^7$ の展開式における $a^3b^1c^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

多項定理を用います。$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の項の係数は $\frac{n!}{p!q!r!}$ で与えられます。

この問題では、$n = 7, p = 3, q = 1, r = 3$ です。したがって、係数は

$\frac{7!}{3!1!3!}$

これを計算します。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$1! = 1$

したがって、

$\frac{7!}{3!1!3!} = \frac{5040}{6 \times 1 \times 6} = \frac{5040}{36} = 140$

3. 最終的な答え

140