与えられた方程式 $z^2 = -4i$ を解き、$z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $z^2 = -4i$ を解き、$z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = a + bi$ ($a, b$ は実数) とおきます。

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$

よって、

$(a^2 - b^2) + 2abi = -4i$

実部と虚部を比較すると、

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = -4$

2番目の式から $ab = -2$ が得られます。

1番目の式から $a^2 = b^2$ なので、$a = b$ または $a = -b$ です。

$ab = -2$ であることから、$a$ と $b$ は異符号でなければならないので、$a = -b$ は不適です。

よって、$a = -b$ の場合のみを考えます。

$a = -b$ を $ab = -2$ に代入すると、$a(-a) = -2$ より、$a^2 = 2$ となります。

したがって、$a = \pm \sqrt{2}$ です。

$a = \sqrt{2}$ のとき、$b = -\sqrt{2}$ となり、$z = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$

$a = -\sqrt{2}$ のとき、$b = \sqrt{2}$ となり、$z = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$z = \sqrt{2} - \sqrt{2}i, -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$