複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -25$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 = -25$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$-25$ を極形式で表します。

$-25 = 25(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$ です。

次に、複素数 $z$ を極形式で $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ と表します。すると、

$z^4 = r^4(\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ となります。

方程式 $z^4 = -25$ より、

$r^4(\cos(4\theta) + i\sin(4\theta)) = 25(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$ が成り立ちます。

したがって、$r^4 = 25$ かつ $4\theta = \pi + 2k\pi$ ($k$ は整数) となります。

$r>0$ より、$r = \sqrt{5}$ です。

$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ となります。$k = 0, 1, 2, 3$ に対して異なる解が得られます。

$k = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{4}$ であり、$z_0 = \sqrt{5}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{5}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$

$k = 1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ であり、$z_1 = \sqrt{5}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = \sqrt{5}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$

$k = 2$ のとき、$\theta = \frac{5\pi}{4}$ であり、$z_2 = \sqrt{5}(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) = \sqrt{5}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{10}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$

$k = 3$ のとき、$\theta = \frac{7\pi}{4}$ であり、$z_3 = \sqrt{5}(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4})) = \sqrt{5}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}, -\frac{\sqrt{10}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}, -\frac{\sqrt{10}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$