サイコロを投げて1の目が出る確率を信頼度95%で推定したい。信頼区間の幅を0.1以下にするには、サイコロを何回以上投げればよいか。

1. 問題の内容

サイコロを投げて1の目が出る確率を信頼度95%で推定したい。信頼区間の幅を0.1以下にするには、サイコロを何回以上投げればよいか。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを$n$回投げたとき、1の目が出た回数を$X$とする。このとき、1の目が出る確率の推定値$\hat{p}$は、$\hat{p} = \frac{X}{n}$となる。

信頼度95%の信頼区間は、近似的に$\hat{p} \pm 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$で与えられる。

信頼区間の幅は、$2 \times 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$となる。

問題文より、信頼区間の幅が0.1以下になるようにしたいので、

$2 \times 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le 0.1$

を満たす$n$を求める。

ここで、$\hat{p}$は未知なので、$\hat{p}(1-\hat{p})$が最大になる場合を考える。$\hat{p}(1-\hat{p})$は$\hat{p} = 0.5$のときに最大値0.25をとる。

したがって、

$2 \times 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \le 0.1$

$1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \le 0.05$

$\sqrt{\frac{0.25}{n}} \le \frac{0.05}{1.96}$

$\frac{0.25}{n} \le (\frac{0.05}{1.96})^2$

$n \ge 0.25 \times (\frac{1.96}{0.05})^2$

$n \ge 0.25 \times (\frac{196}{5})^2$

$n \ge 0.25 \times (39.2)^2$

$n \ge 0.25 \times 1536.64$

$n \ge 384.16$

$n$は整数なので、385回以上投げればよい。

3. 最終的な答え

385回