50人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AもBも正解した人は4人だった。 (1) AもBも正解しなかった人は何人か。 (2) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人は何人か。

1. 問題の内容

50人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AもBも正解した人は4人だった。

(1) AもBも正解しなかった人は何人か。

(2) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

* Aを正解した人の集合を$A$、Bを正解した人の集合を$B$とする。

* $n(A) = 27$

* $n(B) = 13$

* $n(A \cap B) = 4$

* $n(U) = 50$ (全体の人数)

* AまたはBを正解した人の数 $n(A \cup B)$は、包除原理より、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で計算できる。

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

* AもBも正解しなかった人の数は、全体からAまたはBを正解した人の数を引けばよい。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 50 - 36 = 14$

(2)

* Aだけ正解し、Bは正解しなかった人の数は、$n(A \cap \overline{B})$で表される。

* これは、Aを正解した人の数からAとB両方正解した人の数を引けばよい。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 27 - 4 = 23$

3. 最終的な答え

(1) AもBも正解しなかった人は14人。

(2) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人は23人。