確率変数 $X$ の分散が5、確率変数 $Y$ の分散が2であり、$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、$Z = 2X - 3Y$ で定義される確率変数 $Z$ の分散 $Var(Z)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の分散が5、確率変数 $Y$ の分散が2であり、$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、$Z = 2X - 3Y$ で定義される確率変数 $Z$ の分散 $Var(Z)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるとき、確率変数 $aX + bY$ の分散は以下の式で表されます。

$Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$

この式を用いて $Var(Z) = Var(2X - 3Y)$ を計算します。$a = 2$、$b = -3$、$Var(X) = 5$、$Var(Y) = 2$ を代入すると、

$Var(Z) = 2^2 \times 5 + (-3)^2 \times 2$

$Var(Z) = 4 \times 5 + 9 \times 2$

$Var(Z) = 20 + 18$

$Var(Z) = 38$

3. 最終的な答え

38