男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶときの選び方の数を、以下の条件で求めます。 (1) すべての選び方 (2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ (3) 女子が少なくとも1人選ばれる (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる (5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

1. 問題の内容

男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶときの選び方の数を、以下の条件で求めます。

(1) すべての選び方

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

(5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

10人から4人を選ぶ組み合わせなので、

$_{10}C_4$を計算します。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ

男子6人から2人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_2$で、女子4人から2人を選ぶ組み合わせは$_{4}C_2$です。

$_{6}C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

それぞれの組み合わせの積が答えになります。$15 \times 6 = 90$

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる

全体の選び方から女子が誰も選ばれない場合を引けばよいです。女子が誰も選ばれないのは、男子6人から4人を選ぶ場合です。

$_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

全体の選び方は(1)で求めた210通りなので、

$210 - 15 = 195$

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

すでにa, bの2人が選ばれているので、残りの8人から2人を選ぶことになります。

$_{8}C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(5) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるがbは選ばれない

aは選ばれているので、残り3人を選ぶ必要があります。bは選ばれないので、残りの9人から3人を選びます。さらにaもすでに選ばれているので、aを除いた8人から3人を選ぶことになります。

$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 195通り

(4) 28通り

(5) 56通り