確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = -3$、確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y] = 2$ が与えられています。確率変数 $Z = X + Y$ の期待値 $E[Z]$ と確率変数 $W = XY$ の期待値 $E[W]$ を求めます。ただし、$X$ と $Y$ は互いに独立であるとします。$E[X+Y]$ はすでに -1 であることが与えられています。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = -3$、確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y] = 2$ が与えられています。確率変数 $Z = X + Y$ の期待値 $E[Z]$ と確率変数 $W = XY$ の期待値 $E[W]$ を求めます。ただし、$X$ と $Y$ は互いに独立であるとします。$E[X+Y]$ はすでに -1 であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$E[Z] = E[X + Y]$ を計算します。期待値の線形性より、

$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

与えられた値 $E[X] = -3$ と $E[Y] = 2$ を代入すると、

$E[X + Y] = -3 + 2 = -1$

これはすでに与えられている値と一致します。

次に、$E[W] = E[XY]$ を計算します。$X$ と $Y$ は独立なので、

$E[XY] = E[X]E[Y]$

与えられた値 $E[X] = -3$ と $E[Y] = 2$ を代入すると、

$E[XY] = (-3)(2) = -6$

3. 最終的な答え

$E[X+Y] = -1$

$E[XY] = -6$