男子4人、女子5人が1列に並ぶときの、以下の並び方の総数を求める問題です。 (1) 女子5人が続いて並ぶ場合 (2) 男子は男子、女子は女子で、それぞれ続いて並ぶ場合 (3) 両端が男子である場合 (4) 男子、女子が交互に並ぶ場合 (5) どの男子も隣り合わない場合

1. 問題の内容

男子4人、女子5人が1列に並ぶときの、以下の並び方の総数を求める問題です。

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合

(2) 男子は男子、女子は女子で、それぞれ続いて並ぶ場合

(3) 両端が男子である場合

(4) 男子、女子が交互に並ぶ場合

(5) どの男子も隣り合わない場合

2. 解き方の手順

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合

まず、女子5人を1つのグループとして考えます。すると、男子4人と女子グループの合計5つのものを並べることになります。

この5つのものの並べ方は $5!$ 通りです。

次に、女子グループの中で、5人の女子の並べ方が $5!$ 通りあります。

したがって、求める並び方の総数は $5! \times 5!$ です。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$なので、

$5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$

(2) 男子は男子、女子は女子で、それぞれ続いて並ぶ場合

男子4人を1つのグループ、女子5人を1つのグループとして考えます。

この2つのグループの並べ方は $2!$ 通りです。

男子グループの中で、4人の男子の並べ方が $4!$ 通りあります。

女子グループの中で、5人の女子の並べ方が $5!$ 通りあります。

したがって、求める並び方の総数は $2! \times 4! \times 5!$ です。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$なので、

$2! \times 4! \times 5! = 2 \times 24 \times 120 = 5760$

(3) 両端が男子である場合

まず、両端に並べる男子2人を選びます。これは $4 \times 3 = 12$ 通りあります。

次に、残りの7人（男子2人、女子5人）を並べます。これは $7!$ 通りあります。

したがって、求める並び方の総数は $12 \times 7!$ です。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$なので、

$12 \times 7! = 12 \times 5040 = 60480$

(4) 男子、女子が交互に並ぶ場合

女子が5人、男子が4人なので、男子と女子が交互に並ぶ場合は、必ず女子が両端になります。

まず、女子を並べます。これは $5!$ 通りあります。

次に、女子の間の4つのスペースに男子を並べます。これは $4!$ 通りあります。

したがって、求める並び方の総数は $5! \times 4!$ です。

$5! = 120$, $4! = 24$なので、

$5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$

(5) どの男子も隣り合わない場合

まず、女子5人を並べます。これは $5!$ 通りあります。

次に、女子の間の6つのスペース（両端を含む）から4つを選んで男子を並べます。

これは ${}_6P_4$ 通りあります。

したがって、求める並び方の総数は $5! \times {}_6P_4$ です。

${}_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$なので、

$5! \times {}_6P_4 = 120 \times 360 = 43200$

3. 最終的な答え

(1) 14400通り

(2) 5760通り

(3) 60480通り

(4) 2880通り

(5) 43200通り