ある会社で3つの工場A, B, Cで同じ製品を作っている。A工場では全体の60%, B工場では全体の30%, C工場では全体の10%を生産している。また、それぞれの工場で生じる不良品の割合は、A工場2%, B工場3%, C工場4%であることが分かっている。製品全体の中から無作為に1つ取り出したものが不良品だったとき、それがA工場で作られたものである確率を求める問題です。求める確率は、$\frac{\Box}{25}$の形で表される分数の分子の値を答えます。

1. 問題の内容

ある会社で3つの工場A, B, Cで同じ製品を作っている。A工場では全体の60%, B工場では全体の30%, C工場では全体の10%を生産している。また、それぞれの工場で生じる不良品の割合は、A工場2%, B工場3%, C工場4%であることが分かっている。製品全体の中から無作為に1つ取り出したものが不良品だったとき、それがA工場で作られたものである確率を求める問題です。求める確率は、$\frac{\Box}{25}$の形で表される分数の分子の値を答えます。

2. 解き方の手順

不良品であったときにA工場で作られた確率を求めるので、ベイズの定理を使います。

まず、各工場で作られた確率を$P(A), P(B), P(C)$とすると、

$P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$, $P(C) = 0.1$です。

各工場で作られたものが不良品である確率を$P(欠陥|A), P(欠陥|B), P(欠陥|C)$とすると、

$P(欠陥|A) = 0.02$, $P(欠陥|B) = 0.03$, $P(欠陥|C) = 0.04$です。

製品が不良品である確率$P(欠陥)$は、

$P(欠陥) = P(欠陥|A)P(A) + P(欠陥|B)P(B) + P(欠陥|C)P(C)$

$= 0.02 \times 0.6 + 0.03 \times 0.3 + 0.04 \times 0.1$

$= 0.012 + 0.009 + 0.004 = 0.025$

不良品であった時に、それがA工場で作られた確率$P(A|欠陥)$は、ベイズの定理より

$P(A|欠陥) = \frac{P(欠陥|A)P(A)}{P(欠陥)}$

$= \frac{0.02 \times 0.6}{0.025} = \frac{0.012}{0.025} = \frac{12}{25}$

3. 最終的な答え

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