AとBが試合を行い、先に3勝した方を優勝とする。試合数は最大で5試合までで、引き分けはない。Aが1試合で勝つ確率は $\frac{1}{2}$ である。行われた試合数 $X$ の確率分布表を完成させる。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に3勝した方を優勝とする。試合数は最大で5試合までで、引き分けはない。Aが1試合で勝つ確率は $\frac{1}{2}$ である。行われた試合数 $X$ の確率分布表を完成させる。

2. 解き方の手順

$X$ は試合数を示す。

- $X = 3$: 3試合で優勝が決まるので、AAAまたはBBBのいずれか。

- $X = 4$: 4試合で優勝が決まるので、3勝1敗のパターン。

- $X = 5$: 5試合で優勝が決まるので、3勝2敗のパターン。

Aが勝つ確率もBが勝つ確率も $\frac{1}{2}$ である。

$X=3$ のとき：

AAAとなる確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

BBBとなる確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

合計は $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$X=4$ のとき：

Aが勝つ場合：AAAB, AABA, ABAA

Bが勝つ場合：BBBA, BBAB, BABB

それぞれ $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ なので、

$\frac{1}{16} \times 3 + \frac{1}{16} \times 3 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$X=5$ のとき：

Aが勝つ場合：Aが3勝、Bが2勝。最後の試合はAが勝つ。

Bが勝つ場合：Bが3勝、Aが2勝。最後の試合はBが勝つ。

5試合目はAまたはBが勝つので確定。残りの4試合でAが2勝Bが2勝のパターンを考える。

4試合中2回Aが勝つ組み合わせの数は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

5試合目はAが勝つので、確率は $6 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{6}{32}$

同様に、5試合目にBが勝つ確率は $\frac{6}{32}$

合計は $\frac{6}{32} + \frac{6}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$

確率分布表:

X | 3 | 4 | 5

--|-----|-----|-----

確率| 1/4 | 3/8 | 3/8

3. 最終的な答え

X=3の確率: 1/4

X=4の確率: 3/8

X=5の確率: 3/8