問題9は、$a$が自然数のとき、与えられた不等式を満たす$a$の値を全て求める問題です。 問題10は、$a$が自然数のとき、与えられた不等式を満たす$a$の値を全て求める問題です。 問題11は、与えられた不等式を満たす自然数$n$の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題9は、$a$が自然数のとき、与えられた不等式を満たす$a$の値を全て求める問題です。

問題10は、$a$が自然数のとき、与えられた不等式を満たす$a$の値を全て求める問題です。

問題11は、与えられた不等式を満たす自然数$n$の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題9:

不等式全体を2乗します。

(1) $1 \le \sqrt{a} \le 2$ より $1^2 \le a \le 2^2$、つまり $1 \le a \le 4$。$a$は自然数なので、$a=1, 2, 3, 4$。

(2) $2 < \sqrt{a} < 3$ より $2^2 < a < 3^2$、つまり $4 < a < 9$。$a$は自然数なので、$a=5, 6, 7, 8$。

(3) $0 \le \sqrt{a} \le 3$ より $0^2 \le a \le 3^2$、つまり $0 \le a \le 9$。$a$は自然数なので、$a=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$。ただし、$a$は自然数であるため、$0$は含みません。したがって、$a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$。

(4) $4 < \sqrt{a} < 5$ より $4^2 < a < 5^2$、つまり $16 < a < 25$。$a$は自然数なので、$a=17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24$。

(5) $1.5 \le \sqrt{a} \le 2$ より $1.5^2 \le a \le 2^2$、つまり $2.25 \le a \le 4$。$a$は自然数なので、$a=3, 4$。

(6) $\frac{16}{3} < \sqrt{a} < 5.5$ より $(\frac{16}{3})^2 < a < 5.5^2$、つまり $\frac{256}{9} < a < 30.25$。$\frac{256}{9} \approx 28.44$ なので、$28.44 < a < 30.25$。$a$は自然数なので、$a=29, 30$。

問題10:

(1) $a < \sqrt{20}$ より $a^2 < 20$。$a$は自然数なので、$a = 1, 2, 3, 4$。なぜなら、$5^2 = 25 > 20$。

(2) $2 \le a \le \sqrt{17}$ より $4 \le a^2 \le 17$。$a$は自然数なので、$a=2,3,4$を満たすか確認します。$2 \le a \le \sqrt{17}$より、$2 \le a \le 4.12...$ なので、$a=2, 3, 4$。

(3) $4 < a < \sqrt{40}$ より $16 < a^2 < 40$。$a$は自然数なので、$a=5, 6$。なぜなら、$6^2=36 < 40$、$7^2=49 > 40$。ただし、$4<a$より、$4<a<6.32...$なので、$a=5,6$。

(4) $\sqrt{42} \le a \le 9$ より $6.48... \le a \le 9$。$a$は自然数なので、$a=7, 8, 9$。

(5) $\sqrt{7} < a < \sqrt{26}$ より $2.64... < a < 5.09...$。$a$は自然数なので、$a=3, 4, 5$。

(6) $\sqrt{23} < a < \sqrt{83}$ より $4.79... < a < 9.11...$。$a$は自然数なので、$a=5, 6, 7, 8, 9$。

問題11:

(1) $2 \le \sqrt{n} \le 3$ より $4 \le n \le 9$。$n$は自然数なので、$n=4, 5, 6, 7, 8, 9$。個数は6個。

(2) $2 < \sqrt{n} < 4$ より $4 < n < 16$。$n$は自然数なので、$n=5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$。個数は11個。

(3) $2.5 \le \sqrt{n} \le 4$ より $6.25 \le n \le 16$。$n$は自然数なので、$n=7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$。個数は10個。

(4) $1 < n < \sqrt{13}$ より $1 < n < 3.60...$。$n$は自然数なので、$n=2, 3$。個数は2個。

(5) $\sqrt{6} \le n \le 6$ より $2.44... \le n \le 6$。$n$は自然数なので、$n=3, 4, 5, 6$。個数は4個。

(6) $\sqrt{14} \le n \le \sqrt{65}$ より $3.74... \le n \le 8.06...$。$n$は自然数なので、$n=4, 5, 6, 7, 8$。個数は5個。

3. 最終的な答え

問題9:

(1) $a = 1, 2, 3, 4$

(2) $a = 5, 6, 7, 8$

(3) $a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

(4) $a = 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24$

(5) $a = 3, 4$

(6) $a = 29, 30$

問題10:

(1) $a = 1, 2, 3, 4$

(2) $a = 2, 3, 4$

(3) $a = 5, 6$

(4) $a = 7, 8, 9$

(5) $a = 3, 4, 5$

(6) $a = 5, 6, 7, 8, 9$

問題11:

(1) 6個

(2) 11個

(3) 10個

(4) 2個

(5) 4個

(6) 5個