ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、それぞれの絶対値が $|\vec{a}| = 3$、 $|\vec{b}| = 1$、そして $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{19}$ であるとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

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4. ベクトルの内積と角度

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、それぞれの絶対値が $|\vec{a}| = 3$、 $|\vec{b}| = 1$、そして $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{19}$ であるとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})$

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

$\sqrt{19}^2 = 3^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(1)^2$

$19 = 9 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4$

$19 = 13 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6}{4}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$

$\frac{3}{2} = 3 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{2} \div 3$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60°)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60°)

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5. 3点が一直線上にあることの証明

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をP、辺ACの中点をQとし、線分BQの中点をRとする。このとき、3点P, R, Cが一直線上にあることを証明します。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$とします。

点Pは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{a}$

点Qは辺ACの中点なので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

点Rは線分BQの中点なので、

$\vec{AR} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AQ}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}) - \frac{2}{3}\vec{a} = -\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{PC} = \vec{AC} - \vec{AP} = \vec{c} - \frac{2}{3}\vec{a} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \vec{c}$

$\vec{PC} = k\vec{PR}$ となる実数kが存在すれば、3点P, R, Cは一直線上にある。

$-\frac{2}{3}\vec{a} + \vec{c} = k(-\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c})$

$-\frac{2}{3} = -\frac{k}{6}$　かつ　$1 = \frac{k}{4}$

$k = 4$

よって、$\vec{PC} = 4\vec{PR}$となるので、3点P, R, Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点P, R, Cは一直線上にある。 (証明終わり)