点A(4, 3)、点B(4, -4)があり、直線$l: y=3x$がある。点Aを通り、$l$に平行な直線を$m$とする。点Oは原点である。以下の問いに答えよ。 (i) $\triangle OAB$の面積を求めよ。 (ii) 直線$m$の式を求めよ。 (iii) 直線$m$上にy座標が負である点Cを、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(4, 3)、点B(4, -4)があり、直線$l: y=3x$がある。点Aを通り、$l$に平行な直線を$m$とする。点Oは原点である。以下の問いに答えよ。

(i) $\triangle OAB$の面積を求めよ。

(ii) 直線$m$の式を求めよ。

(iii) 直線$m$上にy座標が負である点Cを、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $\triangle OAB$の面積を求める。

底辺をABとすると、ABの長さは$3 - (-4) = 7$となる。

高さはAのx座標なので4である。

したがって、$\triangle OAB$の面積は、

$\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線$m$の式を求める。

直線$m$は直線$l$に平行なので、傾きは3である。

また、点A(4, 3)を通るので、$y = 3x + b$に代入して、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線$m$の式は$y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線$m$上の点なので、点Cの座標を(x, 3x-9)と表せる。

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しいので、点Bと点Cから直線OAまでの距離が等しい。

直線OAの式は、$y = \frac{3}{4}x$なので、$3x - 4y = 0$となる。

点B(4, -4)と直線OAの距離は、

$\frac{|3 \times 4 - 4 \times (-4)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12+16|}{\sqrt{9+16}} = \frac{28}{5}$

点C(x, 3x-9)と直線OAの距離は、

$\frac{|3x - 4(3x-9)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x - 12x + 36|}{5} = \frac{|-9x + 36|}{5}$

したがって、$\frac{|-9x+36|}{5} = \frac{28}{5}$

$|-9x+36| = 28$

$-9x+36 = 28$ または $-9x+36 = -28$

$-9x + 36 = 28$の場合、

$-9x = -8$

$x = \frac{8}{9}$

$y = 3 \times \frac{8}{9} - 9 = \frac{8}{3} - 9 = \frac{8-27}{3} = -\frac{19}{3}$

よって、点Cの座標は$(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$

$-9x+36 = -28$の場合、

$-9x = -64$

$x = \frac{64}{9}$

$y = 3 \times \frac{64}{9} - 9 = \frac{64}{3} - 9 = \frac{64-27}{3} = \frac{37}{3}$

この場合、y座標が正なので不適。

3. 最終的な答え

(i) 14

(ii) $y = 3x - 9$

(iii) $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$