点A(4,3)、B(4,-4)があり、直線 $l: y=3x$ が与えられている。点Aを通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。 (i) $\triangle OAB$ の面積を求める。 (ii) 直線 $m$ の式を求める。 (iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点 $C$ を、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点 $C$ の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(4,3)、B(4,-4)があり、直線 $l: y=3x$ が与えられている。点Aを通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。

(i) $\triangle OAB$ の面積を求める。

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

(iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点 $C$ を、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点 $C$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) $\triangle OAB$ の面積を求める。

点Aと点Bのx座標が同じなので、ABを底辺とすると、ABはy軸に平行な直線になる。

ABの長さは、$3 - (-4) = 7$。

原点OからABまでの距離はAとBのx座標の値である4。

したがって、$\triangle OAB$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$。

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は直線 $l: y=3x$ に平行なので、傾きは3である。

直線 $m$ は点A(4,3)を通るので、$y = 3x + b$ に (4,3) を代入して、$3 = 3 \times 4 + b$。

$3 = 12 + b$ より $b = -9$。

したがって、直線 $m$ の式は、$y = 3x - 9$。

(iii) 点 $C$ の座標を求める。

$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しいので、$\triangle OAB = \triangle OAC = 14$。

$AB$の長さは7である。

$AB$を底辺として高さをhとすると、$\frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

点Oから直線ABまでの距離は4なので高さは4となる。

$\triangle OAC$についても、底辺をOAとすると高さをdとすると、面積は$\frac{1}{2} \times OA \times d = 14$となる。

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しくなるためには、直線mと直線ABの距離が等しくなれば良い。直線mと直線ABの距離は$4$で、点Cのy座標が負であるという条件を満たすので、

$y = 3x - 9$より、点Cの座標を(x,y)とおくと、$\frac{1}{2} \times OC \times h = 14$

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しいという条件を満たす点Cは、直線m上にあり、直線mと直線ABの距離が等しいという条件を満たす点になる。

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しいとき、$\frac{1}{2}|OA \times OB| = \frac{1}{2}|OA \times OC|$

$|OA \times OB| = |OA \times OC|$

$OA = \sqrt{4^2+3^2} = 5$

$\triangle OAC = 14$なので、原点からの高さをhとおくと$\frac{1}{2} \times OA \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times h = 14$, よって$h=\frac{28}{5}$.

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しいということは、点Oから直線ABまでの距離と、点Oから直線mまでの距離が等しいということである。

直線ABの方程式は、$x = 4$。

直線 $m: y = 3x - 9$ 上の点 $C(x,y)$ から直線 $AB: x = 4$ までの距離は $|x - 4|$ である。

また、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しいとき、$OA \times OB = OA \times OC$ より、$OB=OC$となるので、$OB = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}$

$\triangle OAB$と$\triangle OAC$の面積が等しくなるには、直線 $m$ が $y$ 軸と交わる点 $C$ を考える。

このとき、点Cは、(0,-9)となる。このときの$\triangle OAC$の面積は$\frac{1}{2} \times 4 \times 9 = 18$. これは14ではないので間違い。

$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるのは、ABを底辺とするとき点Oからの高さと点Cからの高さが同じになる場合。

よって、点Cのx座標は4。$y = 3x - 9$ に $x=4$ を代入すると、$y = 3 \times 4 - 9 = 3$。このときAとCは同じ点になる。

点Aから直線OABまでの距離が4なので、点Cから直線OABまでの距離も4になるとき面積が等しくなる。

平行線の距離は等しいことを利用すると、y=-4のときC(x,-4)を代入すると、-4 = 3x - 9, 5=3x, x=5/3

したがって、$C(\frac{5}{3}, -4)$

3. 最終的な答え

(i) $\triangle OAB$ の面積: 14

(ii) 直線 $m$ の式: $y = 3x - 9$

(iii) 点 $C$ の座標: $(\frac{5}{3}, -4)$