$a \ge 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \le x \le 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$a \ge 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$ ($0 \le x \le 1$) について、最大値 $M$ と最小値 $m$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1 = (x - a)^2 + a + 1$

この関数は、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 1$ です。

(1) 最大値 $M$ を求める。

軸 $x=a$ と定義域 $0 \le x \le 1$ の位置関係で場合分けをする。

(i) $0 \le a \le 1/2$ のとき:

定義域の端点 $x=1$ で最大となる。

$M = (1 - a)^2 + a + 1 = 1 - 2a + a^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

(ii) $1/2 < a$ のとき:

定義域の端点 $x=0$ で最大となる。

$M = (0 - a)^2 + a + 1 = a^2 + a + 1$

(2) 最小値 $m$ を求める。

(i) $0 \le a \le 1$ のとき：

頂点 $x = a$ が定義域内にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標である。

$m = a + 1$

(ii) $a > 1$ のとき：

頂点 $x = a$ が定義域の外にあるので、最小値は $x=1$ のときにとる。

$m = (1 - a)^2 + a + 1 = a^2 - a + 2$

まとめると、

(1)

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 - a + 2$

$a > \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 + a + 1$

(2)

$0 \le a \le 1$ のとき $m = a + 1$

$a > 1$ のとき $m = a^2 - a + 2$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $M$

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 - a + 2$

$a > \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2 + a + 1$

(2) 最小値 $m$

$0 \le a \le 1$ のとき $m = a + 1$

$a > 1$ のとき $m = a^2 - a + 2$