数列 $4, 2, x, y$ の各項の逆数をとった数列 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $4, 2, x, y$ の各項の逆数をとった数列 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の性質から、隣り合う項の差は一定である。この差を $d$ とすると、

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = d$$

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = d$$

$$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = d$$

まず、$d$ を求める。

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

よって、$d = \frac{1}{4}$ である。

次に、$\frac{1}{x}$ を求める。

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

したがって、

$$x = \frac{4}{3}$$

最後に、$\frac{1}{y}$ を求める。

$$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

したがって、

$$y = 1$$

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{3}$, $y = 1$