三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。 (1) $\cos{\angle{BCA}}$と$\sin{\angle{BCA}}$を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、AD=3である。$\cos{\angle{ADB}}$とBDを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=5である。

(1) $\cos{\angle{BCA}}$と$\sin{\angle{BCA}}$を求め、三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 直線ABと平行な直線lが、三角形ABCの外接円の点Cを含まない方の弧ABと2点D, Eで交わっている。ただし、AD=3である。$\cos{\angle{ADB}}$とBDを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\angle{BCA}}$を求める。余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle{BCA}}$

$8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{\angle{BCA}}$

$64 = 49 + 25 - 70 \cos{\angle{BCA}}$

$70 \cos{\angle{BCA}} = 10$

$\cos{\angle{BCA}} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

次に$\sin{\angle{BCA}}$を求める。

$\sin^2{\angle{BCA}} + \cos^2{\angle{BCA}} = 1$

$\sin^2{\angle{BCA}} = 1 - \cos^2{\angle{BCA}} = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin{\angle{BCA}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径Rを求める。正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle{BCA}}} = 2R$

$2R = \frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{8 \cdot 7}{4\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 7}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2) 四角形ADBCは円に内接するので、$\angle{ADB} + \angle{ACB} = 180^{\circ}$より、$\angle{ADB} = 180^{\circ} - \angle{ACB}$

$\cos{\angle{ADB}} = \cos{(180^{\circ} - \angle{ACB})} = -\cos{\angle{ACB}} = -\frac{1}{7}$

方べきの定理より、AD・AE = AB・AXとする。(XはABの延長と円の交点)

AD * AE = BD * BE

AD = 3であり、DE // ABなので、$\angle{ADE} = \angle{DAB}$

方べきの定理で解く。

AD * AE = AB * (AB+2R) は使えないので、AD * AE = BD * BEを使う

AE = AD + DE = 3 + DE

$\angle{DAB}=\angle{AED}$より、DEBAは等脚台形になるので、AD = BE = 3

3 * AE = BD * 3

AE = BD

AD = 3、AB = 8より、BD = xとすると、DE=8

AE = 3 + DE = 3 + 8 = 11

ABとDEは平行なので、$\angle{BAC} = \angle{ECA}$となり、弧AE = 弧DB

従ってAE = BDとなる。

AD * AE = DB * BEより、AE = DBとなるので

AD = 3なので、DBは5である

3. 最終的な答え

$\cos{\angle{BCA}} = \frac{1}{7}$

$\sin{\angle{BCA}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

外接円の半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

$\cos{\angle{ADB}} = -\frac{1}{7}$

BD = 5