8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べる。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。 (3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の文字 A, A, B, B, C, C, D, E を横一列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) AとAが隣り合い、BとBが隣り合い、CとCが隣り合うような並べ方は全部で何通りあるか。

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方

8個の文字を並べる場合、同じ文字がなければ 8! 通りの並べ方があります。しかし、A, B, C がそれぞれ2つずつあるので、同じ並び方を重複して数えてしまっています。したがって、全体の並べ方は、

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 5040$ 通り

(2) AとA, BとB, CとCがそれぞれ隣り合う並べ方

AA, BB, CC をそれぞれ1つの塊と考えると、AA, BB, CC, D, E の5つのものを並べることになります。これらはすべて異なるものなので、5! 通りの並べ方があります。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り

(3) 同じ文字が全く隣り合わない並べ方

これは包除原理を利用して求めます。

全体の場合の数から、少なくとも1組の同じ文字が隣り合う場合を引きます。

Aが隣り合う場合、Bが隣り合う場合、Cが隣り合う場合をそれぞれ計算します。

A,B,Cの少なくとも一つが隣り合う場合の数を求める必要があります。

S(A)：Aが隣り合う

S(B)：Bが隣り合う

S(C)：Cが隣り合う

求めるものは、全体の並べ方 - (S(A∪B∪C))

S(A∪B∪C) = S(A) + S(B) + S(C) - S(A∩B) - S(B∩C) - S(C∩A) + S(A∩B∩C)

S(A) = $\frac{7!}{2!2!} = 1260$

S(B) = $\frac{7!}{2!2!} = 1260$

S(C) = $\frac{7!}{2!2!} = 1260$

S(A∩B) = $\frac{6!}{2!} = 360$

S(B∩C) = $\frac{6!}{2!} = 360$

S(C∩A) = $\frac{6!}{2!} = 360$

S(A∩B∩C) = $5! = 120$

S(A∪B∪C) = $3 \times 1260 - 3 \times 360 + 120 = 3780 - 1080 + 120 = 2820$

求める答えは、5040 - 2820 = 2220 通り

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 120通り

(3) 2220通り