大人6人、子ども4人の合計10人の中から、抽選で5人を選ぶとき、以下の確率を求める。 (1) 大人が3人、子どもが2人となる確率 (2) 子どもが1人だけとなる確率

1. 問題の内容

大人6人、子ども4人の合計10人の中から、抽選で5人を選ぶとき、以下の確率を求める。

(1) 大人が3人、子どもが2人となる確率

(2) 子どもが1人だけとなる確率

2. 解き方の手順

(1) 大人が3人、子どもが2人となる確率

まず、10人から5人を選ぶ総数を求める。これは $_{10}C_5$ で表される。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、大人6人から3人を選ぶ組み合わせの数を求める。これは $_6C_3$ で表される。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

次に、子ども4人から2人を選ぶ組み合わせの数を求める。これは $_4C_2$ で表される。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

大人3人、子ども2人となる組み合わせの数は $_6C_3 \times _4C_2 = 20 \times 6 = 120$

したがって、求める確率は $\frac{120}{252} = \frac{10}{21}$

(2) 子どもが1人だけとなる確率

子どもが1人だけ選ばれる場合、大人は4人選ばれる必要がある。

大人6人から4人を選ぶ組み合わせの数は $_6C_4$ で表される。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

子ども4人から1人を選ぶ組み合わせの数は $_4C_1$ で表される。

$_4C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$

子どもが1人、大人が4人となる組み合わせの数は $_6C_4 \times _4C_1 = 15 \times 4 = 60$

したがって、求める確率は $\frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 大人が3人、子どもが2人となる確率は $\frac{10}{21}$

(2) 子どもが1人だけとなる確率は $\frac{5}{21}$