図に示す回路のA-B間の合成抵抗が4Ωとなるような抵抗 $r$ の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

1. 問題の内容

図に示す回路のA-B間の合成抵抗が4Ωとなるような抵抗 $r$ の値を求める問題です。配線の抵抗は無視できるものとします。

2. 解き方の手順

まず、回路を簡略化します。

1. 16Ωと3Ωの抵抗が並列に接続されています。その合成抵抗 $R_1$ は、

$$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{16} + \frac{1}{3} = \frac{3+16}{48} = \frac{19}{48}$$

より、

$$R_1 = \frac{48}{19} \approx 2.526 \ \Omega$$

2. この $R_1$ と7Ωの抵抗が直列に接続されています。その合成抵抗 $R_2$ は、

$$R_2 = R_1 + 7 = \frac{48}{19} + 7 = \frac{48 + 133}{19} = \frac{181}{19} \approx 9.526 \ \Omega$$

3. この $R_2$ と9Ωの抵抗が並列に接続されています。その合成抵抗 $R_3$ は、

$$\frac{1}{R_3} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{9} = \frac{19}{181} + \frac{1}{9} = \frac{19 \times 9 + 181}{181 \times 9} = \frac{171 + 181}{1629} = \frac{352}{1629}$$

より、

$$R_3 = \frac{1629}{352} \approx 4.628 \ \Omega$$

4. この $R_3$ と $r$ の抵抗が直列に接続されています。その合成抵抗 $R_4$ は、

$$R_4 = R_3 + r = \frac{1629}{352} + r$$

5. 最後に、この $R_4$ と 4Ωの抵抗が並列に接続されています。A-B間の合成抵抗が4Ωなので、

$$\frac{1}{4} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\frac{1629}{352} + r} + \frac{1}{4}$$

6. この式から $r$ を求めます。

$$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{\frac{1629}{352} + r}$$

$$0 = \frac{1}{\frac{1629}{352} + r}$$

これは、$r$ が無限大に発散する場合にのみ成立します。

別解：

A-B間の合成抵抗が4Ωなので、

$$\frac{1}{\frac{1629}{352}+r} = 0$$

$$\frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{\frac{1629}{352} + r}$$

並列に接続された2つの抵抗の合成抵抗が4Ωになるためには、並列の片方の抵抗が4Ωである必要があるので、

$$\frac{1}{\frac{1629}{352}+r} = 0$$

すなわち、$\frac{1629}{352}+r$は無限大となる必要があるので、この解は存在しません。

回路図をよく見ると、端子Aから出た電流は、4Ωを通って端子Bに戻ってこれるので、それ以外の抵抗は無視できます。よって、

$$R_3+r = \infty$$

A-B間の合成抵抗を4Ωとするためには、A-B間の抵抗は並列に接続されており、片方の抵抗が4Ωである必要があります。しかし、Aから出て4Ωを通るルート以外の抵抗は、

$$(7+3) || (16+r+9) = 10 || (25+r)$$

となり、この抵抗がショートしている必要があります。

回路の合成抵抗が4Ωであるため、

$$\frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{(9 + r) \parallel (7 + 3 \parallel 16)}$$

したがって、

$$\frac{1}{(9 + r) \parallel (7 + 3 \parallel 16)} = 0$$

つまり、$9+r$ と $7 + 3\parallel 16$ の並列接続の抵抗値が無限大になる必要があります。

これは、$9 + r$ が無限大になる場合に成立します。

3Ωと16Ωの並列抵抗: $\frac{3 \cdot 16}{3 + 16} = \frac{48}{19}$

7Ωと$\frac{48}{19}$Ωの直列抵抗: $7 + \frac{48}{19} = \frac{133+48}{19} = \frac{181}{19}$

$$R_{AB} = \frac{4(9+r)}{\frac{181}{19} + 9 + r} = \frac{4}{\frac{181}{19}+9+r} = 4$$

$$4= \frac{4 (9+r)}{9+r + \frac{181}{19}}$$

$1 = \frac{9+r}{9+r + \frac{181}{19}}$

$9+r+\frac{181}{19}=9+r$

$\frac{181}{19}=0$ これは矛盾

この問題の条件を満たす $r$ の値は存在しません。最も近い選択肢は4の 11Ωですが、正確な値ではありません。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるか、もしくは回路図が正しくない可能性があります。選択肢の中で最も近いのは11Ωですが、正確な解ではありません。

しかし、選択肢から選ぶのであれば、回路の複雑さを考慮すると、最も可能性が高いのは④の11Ωでしょう。

最終的な答え：④ 11.0Ω