位置 $x(t)$ が $x(t) = x_0 (1 - e^{-t/\tau})$ (ただし $t \ge 0$) で与えられる物体の運動について考える。 (a) 速度 $v(t)$ を求め、$x(t)$ および $v(t)$ のグラフを示す。 (b) 運動開始直後の $x(t)$ および $v(t)$ を近似的に求め、それぞれのグラフ上に示す。また、これに基づき、この物体の運動を定性的に説明する。 (c) $\tau$ は時定数（あるいは減衰時間、緩和時間）と呼ばれる。これはどのような時間を指すのか、元の式および近似式の両面でその意味（定義）を考察し、説明する。

1. 問題の内容

位置 $x(t)$ が $x(t) = x_0 (1 - e^{-t/\tau})$ (ただし $t \ge 0$) で与えられる物体の運動について考える。

(a) 速度 $v(t)$ を求め、$x(t)$ および $v(t)$ のグラフを示す。

(b) 運動開始直後の $x(t)$ および $v(t)$ を近似的に求め、それぞれのグラフ上に示す。また、これに基づき、この物体の運動を定性的に説明する。

(c) $\tau$ は時定数（あるいは減衰時間、緩和時間）と呼ばれる。これはどのような時間を指すのか、元の式および近似式の両面でその意味（定義）を考察し、説明する。

2. 解き方の手順

(a) 速度 $v(t)$ は、位置 $x(t)$ の時間微分として求められる。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [x_0 (1 - e^{-t/\tau})] = x_0 \frac{d}{dt} (1 - e^{-t/\tau}) = x_0 (0 - (-\frac{1}{\tau})e^{-t/\tau}) = \frac{x_0}{\tau} e^{-t/\tau}$

$x(t)$ は $t=0$ で $0$ から始まり、$t$ が大きくなるにつれて $x_0$ に漸近する。

$v(t)$ は $t=0$ で $\frac{x_0}{\tau}$ から始まり、$t$ が大きくなるにつれて $0$ に漸近する。

(b) 運動開始直後、つまり $t \approx 0$ のとき、$e^{-t/\tau} \approx 1 - \frac{t}{\tau}$ と近似できる。

したがって、$x(t) \approx x_0 (1 - (1 - \frac{t}{\tau})) = x_0 \frac{t}{\tau}$

また、$v(t) \approx \frac{x_0}{\tau} (1 - \frac{t}{\tau})$

$x(t)$ は $t$ に比例して増加し、$v(t)$ は $\frac{x_0}{\tau}$ から線形的に減少する。

(c) 時定数 $\tau$ は、指数関数が $e^{-1} \approx 0.368$ 倍に減衰する時間である。

元の式 $x(t) = x_0 (1 - e^{-t/\tau})$ では、$t = \tau$ のとき $x(\tau) = x_0 (1 - e^{-1}) \approx 0.632 x_0$ となり、位置が最終値 $x_0$ の約63.2% に達する時間を示している。

近似式 $x(t) \approx x_0 \frac{t}{\tau}$ を使うと、$v(t)$ は $t=0$ において $\frac{x_0}{\tau}$ であり、時間 $\tau$ が経過すると速度は $v(t) \approx \frac{x_0}{\tau}(1 - \frac{t}{\tau})$ より $v(t) \approx \frac{x_0}{\tau}(1-1)=0$ になるため、 $\tau$ は速度が減衰する特性時間を示している。

3. 最終的な答え

(a) $v(t) = \frac{x_0}{\tau} e^{-t/\tau}$

(b) $x(t) \approx x_0 \frac{t}{\tau}$, $v(t) \approx \frac{x_0}{\tau} (1 - \frac{t}{\tau})$

(c) 時定数 $\tau$ は、位置が最終値の約 63.2% に達する時間、あるいは速度が減衰する特性時間を示す。