実数 $x, y$ が4つの条件 $3x + 4y \le 20$, $3x + 2y \le 12$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ をすべて満たしながら動くとき、$x + y$ の最大値と、最大値を与える $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が4つの条件 $3x + 4y \le 20$, $3x + 2y \le 12$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ をすべて満たしながら動くとき、$x + y$ の最大値と、最大値を与える $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式をグラフで表す。

$3x + 4y \le 20$ より $y \le -\frac{3}{4}x + 5$

$3x + 2y \le 12$ より $y \le -\frac{3}{2}x + 6$

$x \ge 0$

$y \ge 0$

これらの不等式が表す領域は、四角形になる。四角形の頂点を求める。

(1) $y = 0$ のとき

$3x + 4(0) \le 20$ より $x \le \frac{20}{3}$ なので、$x = \frac{20}{3}$

$3x + 2(0) \le 12$ より $x \le 4$ なので、$x = 4$

よって、$(4, 0)$

(2) $x = 0$ のとき

$3(0) + 4y \le 20$ より $y \le 5$ なので、$y = 5$

$3(0) + 2y \le 12$ より $y \le 6$ なので、$y = 6$

よって、$(0, 5)$

(3) $3x + 4y = 20$ と $3x + 2y = 12$ の交点を求める。

$3x + 4y = 20$

$3x + 2y = 12$

2式の差をとると、

$2y = 8$ より $y = 4$

$3x + 2(4) = 12$ より $3x = 4$ なので、$x = \frac{4}{3}$

よって、$(\frac{4}{3}, 4)$

(4) $x = 0, y = 0$ より、$(0, 0)$

よって、四角形の頂点は $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(\frac{4}{3}, 4)$, $(0, 5)$ となる。

次に、$k = x + y$ とおき、$y = -x + k$ を考える。

この直線が上記の四角形の領域と交わるように、$k$ の最大値を求める。

これは、上記の四角形の頂点のいずれかで $k$ が最大になる。

$(0, 0)$ のとき、$k = 0 + 0 = 0$

$(4, 0)$ のとき、$k = 4 + 0 = 4$

$(\frac{4}{3}, 4)$ のとき、$k = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$

$(0, 5)$ のとき、$k = 0 + 5 = 5$

$0 < 4 < \frac{16}{3} = 5.333... < 5$

したがって、最大値は $\frac{16}{3}$ であり、その時の $x, y$ の値は $(\frac{4}{3}, 4)$ である。

3. 最終的な答え

$x + y$ の最大値は $\frac{16}{3}$ であり、その時の $x, y$ の値は $(\frac{4}{3}, 4)$ である。