A-B間の合成抵抗が $5 \Omega$ の場合、抵抗 $r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

A-B間の合成抵抗が $5 \Omega$ の場合、抵抗 $r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

回路図を簡略化して考えます。

まず、$13 \Omega$ と $4 \Omega$ の抵抗が直列に接続されているので、その合成抵抗は、

$13 + 4 = 17 \Omega$

となります。

次に、$17 \Omega$ と $2 \Omega$ の抵抗が並列に接続されているので、その合成抵抗を $R_{1}$ とすると、

$\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{17} + \frac{1}{2} = \frac{2+17}{34} = \frac{19}{34}$

より、

$R_{1} = \frac{34}{19} \Omega$

となります。

次に、$R_{1}$ と $7 \Omega$ の抵抗が直列に接続されているので、その合成抵抗を $R_{2}$ とすると、

$R_{2} = R_{1} + 7 = \frac{34}{19} + 7 = \frac{34 + 7 \times 19}{19} = \frac{34 + 133}{19} = \frac{167}{19} \Omega$

となります。

最後に、$R_{2}$ と $r$ の抵抗が並列に接続されており、その合成抵抗が $5 \Omega$ なので、

$\frac{1}{5} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{r} = \frac{1}{\frac{167}{19}} + \frac{1}{r} = \frac{19}{167} + \frac{1}{r}$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{5} - \frac{19}{167} = \frac{167 - 19 \times 5}{5 \times 167} = \frac{167 - 95}{835} = \frac{72}{835}$

したがって、

$r = \frac{835}{72} \approx 11.597 \Omega$

となります。

選択肢には近い値がないようです。計算間違いがないか確認します。

$r$ と $R_2$ の並列接続での合成抵抗の式は

$\frac{r \times R_2}{r + R_2} = 5$

これに $R_2 = \frac{167}{19}$ を代入すると

$\frac{r \times \frac{167}{19}}{r + \frac{167}{19}} = 5$

$\frac{167r}{19} = 5 (r + \frac{167}{19})$

$\frac{167r}{19} = 5r + \frac{5 \times 167}{19}$

$167r = 95r + 5 \times 167$

$72r = 5 \times 167$

$r = \frac{5 \times 167}{72} = \frac{835}{72} \approx 11.597$

もう一度計算してみます。

$R = \frac{13 \times 4}{13+4}$

$R = \frac{52}{17}$

$R_{1} = \frac{2 \times (13+4)}{2+(13+4)} = \frac{34}{19} = 1.789$

$R_{2} = \frac{34}{19} + 7 = \frac{34 + 133}{19} = \frac{167}{19} = 8.789$

$\frac{1}{5} = \frac{1}{r} + \frac{19}{167}$

$\frac{1}{r} = \frac{1}{5} - \frac{19}{167} = \frac{167 - 95}{835} = \frac{72}{835}$

$r = \frac{835}{72} \approx 11.597$

並列部分の抵抗値を仮に$X$とおくと、$5= \frac{2 \times (13+4)}{2+17}$

$2\Omega$と$17\Omega$との合成抵抗は $R_1 = (2^{-1}+17^{-1})^{-1} = (19/34)^{-1} = 34/19$

$R_2 = R_1 + 7 = 34/19 + 7 = 167/19$

合成抵抗が5であることから、$\frac{R_2 \times r}{R_2 + r} = 5$となり、

$R_2 \times r = 5 (R_2 + r)$

$r(R_2 -5) = 5R_2$

$r= \frac{5R_2}{R_2 -5} = \frac{5(167/19)}{167/19 - 5} = \frac{5(167/19)}{(167-95)/19} = \frac{5(167)}{72} = \frac{835}{72} \approx 11.6$

答えは選択肢にない。

3. 最終的な答え

選択肢の中に正解がないため、最も近い値を選ぶとすれば、④の $9 \Omega$ が近いですが、厳密には正しくありません。

しかし、選択肢の中から選ぶ必要があるのであれば、④の $9 \Omega$ が最も近いと考えられます。

最終的な答え：④ 9.0 Ω